Zonska teorija čvrstog tijela

Zonska teorija čvrstog tijela

Zonska teorija vrstog tijela Uvod Bloch je formirao ovu teoriju 1928. Po njoj slobodni elektroni se kreu u periodinom polju kristalne reetke Ova teorija se takoe zove Zonska teorija vrstog tijela. Energetska zonska teorija .t. je osnovni princip fizike poluprovodnika i koristi se za objanjenje razlika elektrinih osobina metala, izolatora i poluprovodnika. Elektron u periodinom potencijalu Bloch -ov teorem Kristalno .t. se sastoji od reetke koja se sastoji od velikog broja pozitivnih jona rasporeenih u pravilnim razmacima i od provodnih elektrona koji se slobodno kreu kroz reetku. Varijacije potencijala unutar metalnog kristala sa periodinom reetkom objanjavaju se Blochovim teoremom. + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Potencijal ovdje varira periodino sa periodinou kristalne reetke. Potencijalna energija estice je nula kada je blizu jezgra jona a maksimalna kada je na pola puta do susjednog jona (joni su na rastojanju a). V Raspored jona u kristalu V + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + X

Jednodimenzionalni periodini potencijal u kristalu. Blochov Teorem Blochov Teorem tvrdi da za esticu koja se kree u periodinom potencijalnom polju kristala talasne funkcije (x) imaju oblik: ( x) u k ( x)e ikx , where uk ( x) is a periodic function u k ( x) u k ( x a ) uk(x) je periodina funkcija sa periodinpu potencijala Njena egzaktna forma zavisi od potencijala koji je pridruen atomima (jonima) od kojih se sastoji .t. Jednodimenzionalna Schrdingerova jednaina d 2 8 2 m

[ E V ] 0 2 2 dx h 1 Periodini potencijal V(x) moe da se definira preko konstante reetke a kao V(x)=V(x+a) d 2 8 2 m 2 [ E V ( x a)] 0 2 dx h I Bloch je pokazao da jednodimnezionalno rjeenje Schrdingerove jednaine ima oblik: k ( x) exp(ikx)U k ( x)

In3 D K (r ) exp(ikr )U k (r ) 2 Ako posmatramo linearni niz atoma duine L u jednoj dimenziji, sa N atoma U k ( x) U k ( x Na ).............(3) k ( x Na ) U k ( x Na ) exp{ik ( x Na ) k ( x Na ) exp(ikNa)U k ( x) exp(ikx) k ( x Na ) k ( x) exp(ikNa)..........(4) Ovo se smatra Blochovim uslovom. Slino tome, konjugirano kompleksni oblik j-ne (4) je: k ( x Na ) * k ( x). exp( ikNa).......(5) FromEq (4)and (23) k ( x Na ) * k ( x Na ) k ( x) * k ( x)

Ovo znai da je elektron lokalizovan oko bilo kojeg atoma i da je vjerovatnost da se elektron nae uz bilo koji atom kroz cijeli kristal jednaka. Blochov Teorem V ( x) V ( x a ) Vjerovatnost nalaenja elektrona uz bilo koji atom u .t. Je ista!!! Svaki elektron u kristalnom .t. pripada svakom atomu koji ine .t. Ponaanje elektrona u periodinom potencijalu: (Kronig-Pennyjev Model): Ovdje se pusti da V a b 0 Potencijalnana barijera izmeu atoma.

U2(x) V U1(x) x X=0 X=a X=b Ovaj model potencijala koji se nalazi u stvarnom kristalu ima oblik periodinih pravougaonih jama kao na sl. Potencijalna energija je 0 u regionima 0

Talasne funkcije za ova dva regiona dobijaju se rjeavanjem slijedeih Schrdinger-ovih jednaina: 2 d 2m 2 E 0 for 0 x a..............1 2 dx d 2 2m 2 ( E V0 ) 0 for b x 0........2 2 dx Ako definiramo realne veliine i kao: 2m(V0 E ) 2mE 2

2 and ; ( E V0 )...............3 2 2 I poto talasna funkcija mora imati Bloch-ovu formu moemo oekivati da bude: ( x) e ikxU k ( x)..........4 Zamjenjujui (4) u (2) dobije se slijedea jednaina za uk(x) 2 d u1 du1 2 2

2ik ( k )u1 0 for 0 x a 2 dx dx 5 d 2u 2 du2 2 2 2 ik ( k ) 0 for b x 0 2 dx

dx 6 Rjeenja ovih jednaina se mogu napisati kao: u1 Aei ( K ) x Be i ( k ) x for0 x a u 2 Ce ( ik ) x De ( ik ) x for b x 0 7 Gdje su A,B,C,D konstante .Ova rjeenja moraju zadovoljavati granine uslove: du1 du2 (u1 ) x 0 (u2 ) x 0 ; dx x 0 dx x 0 du1 du2 (u 1 ) x a (u2 ) x b ;

dx x a dx x b 8 Prva dva uslova slijede iz zahtjeva za kontinuitet talasne funkcije i kontinuitet (neprekidnost) njenog prvog izvoda d/ dx u taki x=0, pa tako i u i njen izvod du/dx; preostala dva uslova potiu zbog zahtjeva periodinosti of uk(x). Kad primijenimo ove uslove na jednainu (7) dobijemo etiri linearne homogene jednaine koje sadre konstante A,B,C,D: A+B=C+D Ai ( k ) Bi ( k ) C ( ik ) D( ik ),

9 Ae ( k ) a Be i ( k ) a Ce ( ik ) b De ( ik ) b Koeficijenti A,B,C,D se mogu odrediti rjeavanjem ovih jednaina to vodi do slijedee jednaine ; 2 2 sinh bsin a cosh bcos a cos K (a b) 2 10 Uzimajui da je Vo beskonano, a b da tei nuli dobije se da Vob ostaje konano . veliina lim(Vob) predstavlja jainu barijere

Na ovaj nain jednaina (10) postaje mV0b 2 Sina cos a cos ka Ako definiramo veliinu P kao mV0ba p 2 11 Onda se (11) svodi na sin a p cos a cos K a Ovo je uslov postojanja rjeenja talasne jednaine.

Vidi se da je taj uskov ispunjen samo za one vrijednosti a za koje je lijeva strana te jednaine u opsegu od +1do -1; Posljedice ove jednaine se mogu bolje razumjeti sa slike. 12 Kronig-Penney-ev Model sin(a) P cos(a ) a Granice za a = n. 1 -2 -

0 2 3 a -1 Ovdje nema rjeenja Ovdje je, k2 < 0 Ovo su regioni gdje je jednaina zadovoljenja tj. gdje postoje rjeenja Openito, kad energija raste (a raste), svaka slijedea zona postaje ira, a svaki slijedei gap ui. Dio izmeu vertikalnih osa koji lei izmeu horizontalnih linija predstavlja opseg koji je prihvatljiv za lijevu stranu sin a p cos a a

Zakljuci: **Dozvoljeni intervali a koji dozvoljavaju da postoje mehanika talasna rjeenja prikazani su kao osjeneni intervali tako da je kretanje elektrona u periodinom polju kristala je okarakterisano zonama dozvoljene energije razdvojenih zonama zabranjenih energija. ** Sa porastom vrijednosti raste irina zona dozvoljene energije, a smanjuje se irina zona zabranjene energije. ** Ako je jaina potencijalne barijere P velika, funkcija sa desne strane jednaine koja prelazi vrijednosti +1 i -1 ini to u regionima strmije funkcije pa zone dozvoljenih energija postaju ire . Ako P tei u beskonano dozvoljena zona se reducira na jedan Energetski nivo : p

0 a Ako P tei nuli nikakvih energetskih nivoa , sve energije su dozvoljene elektronima. cos a cos ka k 2 k 2 k 2 2 p 0 a 2mE 2 2 2 E ( )k 2m

h 2 2 2 E ( 2 )( ) 8 m h2 1 E ( ) 2 2m h2 p2 p2 1 2 E ( ) 2 mv 2m h 2m 2 Brillouin-ove zone (E-k krivulja) Brillouin-ova zona je predstava dozvoljenih vrijednosti K elektrona u jednoj, dvije ili tri dimenzije. Tako je energetski spektar elektrona koji se kree u polju periodinog potencijala podijeljen u dozvoljene i zabranjene zone. 1

a -1 Kronig-Penney-jev model nam daje DETALJNA rjeenja za zone. Koje su skoro kosinusionalne po prirodi. 4 3 2 d d d d 2 3 4 d d d d E-k dijagram : E Energ. gap Dozvoljene

zone Energ. gap 3 a 2 a a a Prva Brillouin-ova zone 2

a 3 a k Kad se parabola koja predstavlja energiju slobodnog elektrona uporedi sa energijom elektrona u periodinom polju kristala, vidi se da ova druga parabola ima diskontinuitete za vrijednosti od k koje su date sa k=n/a Poto je k talasni vektor k=2/ n/a =2/ 2a=n I

A ovo je oblik Braggovog zakona. Rjeenje talasne jednaine pod ovim uslovima daje dva stojea talasa koji pokazuju da su mogua dva poloaja elektrona sa razliitim potencijalnim energijama a istom vrijednou od k . To dovodi do prekida na E-K krivulji. Sa grafikona vidimo da elektron ima dozvoljene energije u regionu od k=-/a do +/a. Ova zona se zove prva Brillouin-ova zona Porijeklo energetskih zona u .t. Kada posmatramo izoliran atom, njegovi elektroni su vrsto vezani i imaju diskretne, otre energetske nivoe.

Kada se dva identina atoma primaknu blie, onda se vanjske orbite tih elektrona preklope i intereaguju. Ako se vie atoma priblie, stvara se vie energetskih nivoa pa za .t. Sa N atoma , svaki se energetski nivo raspada na N energetskih nivoa. Ti nivoi su tako blizu jedan drugom da oni formiraju skoro kontinuiranu traku. irina ove trake zavisi od stepena preklapanja elektrona susjednih atoma i vea je za najvanjskije elektrone. E1 E1 E2

E1 E2 E3 N atoma E N energ.nivoa Energetske zone u .t. su vane za odreivanje mnogih fizikalnih svojstava .t. Dozvoljene energ. zone: (1) Valentna zona (2) Provodna zona Traka/zona koja odgovara vanjskim elektronima zove se vodljiva/provodna zona, a slijedea unutranja zona se zove valentna zona. Gap izmeu ove dvije dozvoljene zone zove se zabranjena energetska zona ili energetski gap.

Klasifikacija vrstih tijela na provodnike, poluprovodnike i izolatore Na osnovu zabranjene zone ili energetskog gapa vrsta tijela se dijele na izolatore, poluprovodnike i provodnike. Izolatori: U sluaju izolatora, zabranjena zona je vrlo iroka. Zbog ovoga elektroni ne mogu preskoiti iz valentne zone u provodnu. Provodna zona Zabranjena zona IZOLATORI Valentna zona

Provodna zona POLUPROVODNICI Zabranjena zona Provodna zona Valentna zona Valentna zona PROVODNICI Poluprovodnici U poluprovodnicima zabranjena zona je veoma mala . Ge i Si su najbolji primjeri poluprovodnika.

Zabranjena zona je reda 0.7ev i 1.1ev. Provodnici Kod provodnika nema zabranjene zone. Valentna i provodna zona se preklapaju. Elektroni iz valentne zone slobodno prelaze u provodnu zonu. Efektivna masa elektrona Efektivna masa elektrona nastaje zbog periodinog potencijala koji stvara reetka. Kada se elektron u periodinom potencijalu reetke ubrza elektrinim poljem , onda se masa elektrona mijenja i nju zovemo efektivna masa elektrona m*.

Posmatrajmo elektron naboja e i mase m pod uticajem elektrinog polja . f eE ma eE eE a m Ubrzanje nije konstanta u periodinoj reeci kristala tako da masa elektrona biva zamijenjena njegovom efektivnom masom m* kada se elektron kree u periodinom polju kristala eE a * m Posmatrajmo slobodni elektron kao talasni paket koji se kree

brzinom Vg d vg dk where 2 angular. frequency k wave.vector d vg dk d v g 2 dk E dE E h , ., d h h 2 dE vg h dk 1 dE

vg dk a dv g dt 1 d 2E 1 a dk dt 1 d 2 E dk a dk 2 dt sin ce., k p and .. dp F dt p

d( ) 1 d 2E ) a ( dk 2 dt 1 d 2 E dp a 2 ( ) 2 dk dt 1 d 2E a 2 F 2 dk

Efektivna masa elektrona 1 d 2E a 2 F 2 dk F 2 2 a d E 2 dk 2 m 2 d E 2 dk E a. Promjena E sa K (a )

0 b. Promjena v sa K V (b) c. Promjena m* sa K 0 m d. Promjena fk sa K (c ) fk Stepen slobode elektrona se openito definira faktorom 2

m m d E fk 2 { 2 } m dk (d ) a 0 k k0 a Promjena v sa k:

Promjena brzine sa k sl. (b) kada k=0, brzina je nula nakon ega vrijednost k raste. E (a ) 0 V (b) 0 m Za k=k0 (k0 odgovara prevojnoj taki na E-k krivulji) .Iza ove take prevoja brzina poinje da opada i konano uzima vrijednost nula za k=/a (c ) fk

(d ) a 0 k k0 a E Promjena m* sa k (a ) 0 V

Promjena m* sa k. Za k=0 efektivna masa se primie m. Kako vrijednost k raste raste i m* dostiui svoj maksimum u prevojnoj taki E-k krivulje. Nakon prevojne take m* postaje negativno dostiui malu negativnu vrijednost za k = /a. (b) 0 m (c ) fk (d ) a

0 k k0 a Promjena fksa k: Stepen slobode elektrona: fk=m/m* m fk 2 d 2E 2 dk E (a )

0 V (b) 0 m Fk je mjera slobode elektrona koji se nalazi (c ) u stanju k. Ako je m* velika ,fk je malo, fk tj. estica se ponaa kao teka estica. Kada je fk=1 elektron se ponaa kao slobodni elektron . Treba primijetiti da je fk pozitivno u donjoj polovini trake, a negativno u gornjoj polovini.

(d ) a 0 k k0 a

Recently Viewed Presentations

  • Deakin/DH/DHS Strategic Alliance (BSW Region): A university ...

    Deakin/DH/DHS Strategic Alliance (BSW Region): A university ...

    Deakin/DH/DHS Strategic Alliance Past, present and future ... John Hedditch DHS - Anne Congleton Alliance team members Partnership project officer - Chris Loughnan (0.6 FTE - funded by Alliance budget) Deakin - Anita Peerson (funded 0.5 FTE by Deakin and...
  • Setting of Targets - CIRED

    Setting of Targets - CIRED

    SETTING OF TARGETS FOR CONTINUITY OF SUPPLY THROUGH BENCHMARKING DOUGLAS J.A.K. and CASTRO SAYAS F. PB Power Ltd. - United Kingdom RELIABILITY INDICES The principal reliability indices (SAIFI, SAIDI, CAIDI) and treatment thereto differ between countries: duration of long interruptions...
  • Starter for 5!

    Starter for 5!

    The person then goes back to their group and draws the picture from memory. ... 'He ascended to heaven, and is seated at the right hand of the Father, ... You are going to produce a creative response to Christian...
  • WHAT IS IDENTITY?  https://www.youtube.com/watch?v=i-h_fJFQcds WHAT DOES POP CULTURE

    WHAT IS IDENTITY? https://www.youtube.com/watch?v=i-h_fJFQcds WHAT DOES POP CULTURE

    Three Levels of Government. Municipal - local government. In a town or city, the government leader is the mayor and other elected members are councilors and make up the governing body called a council
  • The Cell Cycle & Mitosis Cellular Division 101

    The Cell Cycle & Mitosis Cellular Division 101

    Mitosis is the division of the nucleus of a cell with duplicated DNA In mitosis, a parent cell divides into two diploid daughter cells Four steps: Prophase, Metaphase, Anaphase, Telophase Prophase Prophase Chromatin condenses to form chromosomes Nuclear envelope dissolves...
  • Our Secret Data Mart: This and other misadventures in my ten ...

    Our Secret Data Mart: This and other misadventures in my ten ...

    Our Secret Data Mart: This and other misadventures in my ten years as a business analyst Presentation to the NEODWSIG 3/23/2006 by Michael Mina
  • The Strategic Use of Social Marketing

    The Strategic Use of Social Marketing

    Planning the Intervention. An intervention can be aimed at any level of the social ecological model. Will have an effect on the targeted level, and on all levels nested within it. Example: An intervention aimed at families, groups, social networks...
  • America&#x27;s First Government(s) - Cabarrus County Schools

    America's First Government(s) - Cabarrus County Schools

    The first constitution of the US. Proposed by the Continental Congress November 17, 1777. Ratified by all the states on March 1, 1781. The . Confederation. created a "league of friendship" coming together for one purpose. ... America's First Government(s)