Zonska teorija vrstog tijela Uvod Bloch je formirao ovu teoriju 1928. Po njoj slobodni elektroni se kreu u periodinom polju kristalne reetke Ova teorija se takoe zove Zonska teorija vrstog tijela. Energetska zonska teorija .t. je osnovni princip fizike poluprovodnika i koristi se za objanjenje razlika elektrinih osobina metala, izolatora i poluprovodnika. Elektron u periodinom potencijalu Bloch -ov teorem Kristalno .t. se sastoji od reetke koja se sastoji od velikog broja pozitivnih jona rasporeenih u pravilnim razmacima i od provodnih elektrona koji se slobodno kreu kroz reetku. Varijacije potencijala unutar metalnog kristala sa periodinom reetkom objanjavaju se Blochovim teoremom. + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Potencijal ovdje varira periodino sa periodinou kristalne reetke. Potencijalna energija estice je nula kada je blizu jezgra jona a maksimalna kada je na pola puta do susjednog jona (joni su na rastojanju a). V Raspored jona u kristalu V + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + X
Jednodimenzionalni periodini potencijal u kristalu. Blochov Teorem Blochov Teorem tvrdi da za esticu koja se kree u periodinom potencijalnom polju kristala talasne funkcije (x) imaju oblik: ( x) u k ( x)e ikx , where uk ( x) is a periodic function u k ( x) u k ( x a ) uk(x) je periodina funkcija sa periodinpu potencijala Njena egzaktna forma zavisi od potencijala koji je pridruen atomima (jonima) od kojih se sastoji .t. Jednodimenzionalna Schrdingerova jednaina d 2 8 2 m
[ E V ] 0 2 2 dx h 1 Periodini potencijal V(x) moe da se definira preko konstante reetke a kao V(x)=V(x+a) d 2 8 2 m 2 [ E V ( x a)] 0 2 dx h I Bloch je pokazao da jednodimnezionalno rjeenje Schrdingerove jednaine ima oblik: k ( x) exp(ikx)U k ( x)
In3 D K (r ) exp(ikr )U k (r ) 2 Ako posmatramo linearni niz atoma duine L u jednoj dimenziji, sa N atoma U k ( x) U k ( x Na ).............(3) k ( x Na ) U k ( x Na ) exp{ik ( x Na ) k ( x Na ) exp(ikNa)U k ( x) exp(ikx) k ( x Na ) k ( x) exp(ikNa)..........(4) Ovo se smatra Blochovim uslovom. Slino tome, konjugirano kompleksni oblik j-ne (4) je: k ( x Na ) * k ( x). exp( ikNa).......(5) FromEq (4)and (23) k ( x Na ) * k ( x Na ) k ( x) * k ( x)
Ovo znai da je elektron lokalizovan oko bilo kojeg atoma i da je vjerovatnost da se elektron nae uz bilo koji atom kroz cijeli kristal jednaka. Blochov Teorem V ( x) V ( x a ) Vjerovatnost nalaenja elektrona uz bilo koji atom u .t. Je ista!!! Svaki elektron u kristalnom .t. pripada svakom atomu koji ine .t. Ponaanje elektrona u periodinom potencijalu: (Kronig-Pennyjev Model): Ovdje se pusti da V a b 0 Potencijalnana barijera izmeu atoma.
U2(x) V U1(x) x X=0 X=a X=b Ovaj model potencijala koji se nalazi u stvarnom kristalu ima oblik periodinih pravougaonih jama kao na sl. Potencijalna energija je 0 u regionima 0
Talasne funkcije za ova dva regiona dobijaju se rjeavanjem slijedeih Schrdinger-ovih jednaina: 2 d 2m 2 E 0 for 0 x a..............1 2 dx d 2 2m 2 ( E V0 ) 0 for b x 0........2 2 dx Ako definiramo realne veliine i kao: 2m(V0 E ) 2mE 2
2 and ; ( E V0 )...............3 2 2 I poto talasna funkcija mora imati Bloch-ovu formu moemo oekivati da bude: ( x) e ikxU k ( x)..........4 Zamjenjujui (4) u (2) dobije se slijedea jednaina za uk(x) 2 d u1 du1 2 2
2ik ( k )u1 0 for 0 x a 2 dx dx 5 d 2u 2 du2 2 2 2 ik ( k ) 0 for b x 0 2 dx
dx 6 Rjeenja ovih jednaina se mogu napisati kao: u1 Aei ( K ) x Be i ( k ) x for0 x a u 2 Ce ( ik ) x De ( ik ) x for b x 0 7 Gdje su A,B,C,D konstante .Ova rjeenja moraju zadovoljavati granine uslove: du1 du2 (u1 ) x 0 (u2 ) x 0 ; dx x 0 dx x 0 du1 du2 (u 1 ) x a (u2 ) x b ;
dx x a dx x b 8 Prva dva uslova slijede iz zahtjeva za kontinuitet talasne funkcije i kontinuitet (neprekidnost) njenog prvog izvoda d/ dx u taki x=0, pa tako i u i njen izvod du/dx; preostala dva uslova potiu zbog zahtjeva periodinosti of uk(x). Kad primijenimo ove uslove na jednainu (7) dobijemo etiri linearne homogene jednaine koje sadre konstante A,B,C,D: A+B=C+D Ai ( k ) Bi ( k ) C ( ik ) D( ik ),
9 Ae ( k ) a Be i ( k ) a Ce ( ik ) b De ( ik ) b Koeficijenti A,B,C,D se mogu odrediti rjeavanjem ovih jednaina to vodi do slijedee jednaine ; 2 2 sinh bsin a cosh bcos a cos K (a b) 2 10 Uzimajui da je Vo beskonano, a b da tei nuli dobije se da Vob ostaje konano . veliina lim(Vob) predstavlja jainu barijere
Na ovaj nain jednaina (10) postaje mV0b 2 Sina cos a cos ka Ako definiramo veliinu P kao mV0ba p 2 11 Onda se (11) svodi na sin a p cos a cos K a Ovo je uslov postojanja rjeenja talasne jednaine.
Vidi se da je taj uskov ispunjen samo za one vrijednosti a za koje je lijeva strana te jednaine u opsegu od +1do -1; Posljedice ove jednaine se mogu bolje razumjeti sa slike. 12 Kronig-Penney-ev Model sin(a) P cos(a ) a Granice za a = n. 1 -2 -
0 2 3 a -1 Ovdje nema rjeenja Ovdje je, k2 < 0 Ovo su regioni gdje je jednaina zadovoljenja tj. gdje postoje rjeenja Openito, kad energija raste (a raste), svaka slijedea zona postaje ira, a svaki slijedei gap ui. Dio izmeu vertikalnih osa koji lei izmeu horizontalnih linija predstavlja opseg koji je prihvatljiv za lijevu stranu sin a p cos a a
Zakljuci: **Dozvoljeni intervali a koji dozvoljavaju da postoje mehanika talasna rjeenja prikazani su kao osjeneni intervali tako da je kretanje elektrona u periodinom polju kristala je okarakterisano zonama dozvoljene energije razdvojenih zonama zabranjenih energija. ** Sa porastom vrijednosti raste irina zona dozvoljene energije, a smanjuje se irina zona zabranjene energije. ** Ako je jaina potencijalne barijere P velika, funkcija sa desne strane jednaine koja prelazi vrijednosti +1 i -1 ini to u regionima strmije funkcije pa zone dozvoljenih energija postaju ire . Ako P tei u beskonano dozvoljena zona se reducira na jedan Energetski nivo : p
0 a Ako P tei nuli nikakvih energetskih nivoa , sve energije su dozvoljene elektronima. cos a cos ka k 2 k 2 k 2 2 p 0 a 2mE 2 2 2 E ( )k 2m
h 2 2 2 E ( 2 )( ) 8 m h2 1 E ( ) 2 2m h2 p2 p2 1 2 E ( ) 2 mv 2m h 2m 2 Brillouin-ove zone (E-k krivulja) Brillouin-ova zona je predstava dozvoljenih vrijednosti K elektrona u jednoj, dvije ili tri dimenzije. Tako je energetski spektar elektrona koji se kree u polju periodinog potencijala podijeljen u dozvoljene i zabranjene zone. 1
a -1 Kronig-Penney-jev model nam daje DETALJNA rjeenja za zone. Koje su skoro kosinusionalne po prirodi. 4 3 2 d d d d 2 3 4 d d d d E-k dijagram : E Energ. gap Dozvoljene
zone Energ. gap 3 a 2 a a a Prva Brillouin-ova zone 2
a 3 a k Kad se parabola koja predstavlja energiju slobodnog elektrona uporedi sa energijom elektrona u periodinom polju kristala, vidi se da ova druga parabola ima diskontinuitete za vrijednosti od k koje su date sa k=n/a Poto je k talasni vektor k=2/ n/a =2/ 2a=n I
A ovo je oblik Braggovog zakona. Rjeenje talasne jednaine pod ovim uslovima daje dva stojea talasa koji pokazuju da su mogua dva poloaja elektrona sa razliitim potencijalnim energijama a istom vrijednou od k . To dovodi do prekida na E-K krivulji. Sa grafikona vidimo da elektron ima dozvoljene energije u regionu od k=-/a do +/a. Ova zona se zove prva Brillouin-ova zona Porijeklo energetskih zona u .t. Kada posmatramo izoliran atom, njegovi elektroni su vrsto vezani i imaju diskretne, otre energetske nivoe.
Kada se dva identina atoma primaknu blie, onda se vanjske orbite tih elektrona preklope i intereaguju. Ako se vie atoma priblie, stvara se vie energetskih nivoa pa za .t. Sa N atoma , svaki se energetski nivo raspada na N energetskih nivoa. Ti nivoi su tako blizu jedan drugom da oni formiraju skoro kontinuiranu traku. irina ove trake zavisi od stepena preklapanja elektrona susjednih atoma i vea je za najvanjskije elektrone. E1 E1 E2
E1 E2 E3 N atoma E N energ.nivoa Energetske zone u .t. su vane za odreivanje mnogih fizikalnih svojstava .t. Dozvoljene energ. zone: (1) Valentna zona (2) Provodna zona Traka/zona koja odgovara vanjskim elektronima zove se vodljiva/provodna zona, a slijedea unutranja zona se zove valentna zona. Gap izmeu ove dvije dozvoljene zone zove se zabranjena energetska zona ili energetski gap.
Klasifikacija vrstih tijela na provodnike, poluprovodnike i izolatore Na osnovu zabranjene zone ili energetskog gapa vrsta tijela se dijele na izolatore, poluprovodnike i provodnike. Izolatori: U sluaju izolatora, zabranjena zona je vrlo iroka. Zbog ovoga elektroni ne mogu preskoiti iz valentne zone u provodnu. Provodna zona Zabranjena zona IZOLATORI Valentna zona
Provodna zona POLUPROVODNICI Zabranjena zona Provodna zona Valentna zona Valentna zona PROVODNICI Poluprovodnici U poluprovodnicima zabranjena zona je veoma mala . Ge i Si su najbolji primjeri poluprovodnika.
Zabranjena zona je reda 0.7ev i 1.1ev. Provodnici Kod provodnika nema zabranjene zone. Valentna i provodna zona se preklapaju. Elektroni iz valentne zone slobodno prelaze u provodnu zonu. Efektivna masa elektrona Efektivna masa elektrona nastaje zbog periodinog potencijala koji stvara reetka. Kada se elektron u periodinom potencijalu reetke ubrza elektrinim poljem , onda se masa elektrona mijenja i nju zovemo efektivna masa elektrona m*.
Posmatrajmo elektron naboja e i mase m pod uticajem elektrinog polja . f eE ma eE eE a m Ubrzanje nije konstanta u periodinoj reeci kristala tako da masa elektrona biva zamijenjena njegovom efektivnom masom m* kada se elektron kree u periodinom polju kristala eE a * m Posmatrajmo slobodni elektron kao talasni paket koji se kree
brzinom Vg d vg dk where 2 angular. frequency k wave.vector d vg dk d v g 2 dk E dE E h , ., d h h 2 dE vg h dk 1 dE
vg dk a dv g dt 1 d 2E 1 a dk dt 1 d 2 E dk a dk 2 dt sin ce., k p and .. dp F dt p
d( ) 1 d 2E ) a ( dk 2 dt 1 d 2 E dp a 2 ( ) 2 dk dt 1 d 2E a 2 F 2 dk
Efektivna masa elektrona 1 d 2E a 2 F 2 dk F 2 2 a d E 2 dk 2 m 2 d E 2 dk E a. Promjena E sa K (a )
0 b. Promjena v sa K V (b) c. Promjena m* sa K 0 m d. Promjena fk sa K (c ) fk Stepen slobode elektrona se openito definira faktorom 2
m m d E fk 2 { 2 } m dk (d ) a 0 k k0 a Promjena v sa k:
Promjena brzine sa k sl. (b) kada k=0, brzina je nula nakon ega vrijednost k raste. E (a ) 0 V (b) 0 m Za k=k0 (k0 odgovara prevojnoj taki na E-k krivulji) .Iza ove take prevoja brzina poinje da opada i konano uzima vrijednost nula za k=/a (c ) fk
(d ) a 0 k k0 a E Promjena m* sa k (a ) 0 V
Promjena m* sa k. Za k=0 efektivna masa se primie m. Kako vrijednost k raste raste i m* dostiui svoj maksimum u prevojnoj taki E-k krivulje. Nakon prevojne take m* postaje negativno dostiui malu negativnu vrijednost za k = /a. (b) 0 m (c ) fk (d ) a
0 k k0 a Promjena fksa k: Stepen slobode elektrona: fk=m/m* m fk 2 d 2E 2 dk E (a )
0 V (b) 0 m Fk je mjera slobode elektrona koji se nalazi (c ) u stanju k. Ako je m* velika ,fk je malo, fk tj. estica se ponaa kao teka estica. Kada je fk=1 elektron se ponaa kao slobodni elektron . Treba primijetiti da je fk pozitivno u donjoj polovini trake, a negativno u gornjoj polovini.
(d ) a 0 k k0 a
